Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=4，AD=6，F，E分别是线段PD，CD的中点．
（1）求直线AF和PB所成角的余弦值；
（2）求二面角F-AE-B平面角的余弦值．

Answer

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴立空间直角坐标系，写出A，B，C，D，E，F，P各点坐标，
（1）求出夹角余弦值，再根据异面直线夹角与直线方向向量夹角关系求出．
（2）先求出平面BAE，面FAE的法向量，再求出两法向量夹角的余弦值，利用二面角平面角与法向量夹角关系求出即可．
【解析】
如图以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（6，0，0），C（6，6，0）D（0，6，0），P（0，0，4）E（3，6，0），F（0，3，2）．
（1）…（6分）
∴直线AF和PB所成角的余弦值为
（2）由图易知设平面BAE的一个法向量为．
设平面FAE的法向量为，由，．得令y=2，则=（-4，2，-3）∴因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以二面角F-AE-B平面角的余弦值为．…（13分）