Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c，g（x）=x²+2x+2，若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值
（1）求实数a，b的值；
（2）若存在x₁∈[-2，6]，x₂[-2，6]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数c的取值范围．

Answer

（1）根据函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，可判断f'（-1）=0，f'（3）=0，就可求出a，b的值．
（2）若存在x1∈[-2，6]，x2[-2，6]，使f（x1）≥g（x2）成立，则当x∈[-2，6]时，f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值，再利用导数分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，让再f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值即可．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax+b∵f（x）在及x=3处取得极值
∴-1和3是方程3x2-2ax+b的两根，
（2）依题意：x∈[-2，6]时，f（x）max≥g（x）min，g（x）min=1．f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）．当 x变化时，f′（x）、f（x）变化情况如表

x -2 （-2，-1） -1 （-1，3） 3 （3，6） 6
f′（x） + - +
f（x） c-2 ↗ 极大值c+5 ↘ 极小值c-27 ↗ c+54

∴x∈[-2，6]时，f（x）max=c+54≥1，∴c≥-53