Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过构造一个新的数列{b_n}，求非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）对于（2）中符合条件的数列{b_n}，求的最大值．

Answer

（1）由已知中等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为sn，且满足a2a3=45，a1+a4=14，我们构造出关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可得到数列{an}的通项公式．
（2）根据（1）的结论，可得到sn的表达式，再根据可得数列{bn}的前3项，根据{bn}也是等差数列，构造关于b的方程，即可求出非零常数c的值．
（3）根据（2）可得f（n）═=但对于不能用基本不等式因为等号成立的条件是n2=2010但由于n为正整数这是不可能的因此需比较与邻近的两个正整数44，45所对应的44+和55+的大小就可得出f（n）的最大值．
【解析】
：（1）{an}为等差数列，所以，a1+a4=a2+a3=14
又a2a3=45所以a2，a3是方程x2-14x+45=0的两实根，公差d＞0，
∴a2＜a3∴a2=5，a3=9
∴a1+d=5，a1+2d=9
∴a1=1，d=4
∴an=4n-3
（2）由（1）知sn=n（2n-1）
∴=
∴b1=11+c，b2=62+c，b3=153+c
又∵{bn}也是等差数列
∴b1+b3=2b2
即  2•（62+c）=11+c+153+c，解得 c=-或c=0（舍去）
∴bn=2n是等差数列，故 c=-
（3）∵==且44+＞55+
∴f（n）≤
故f（n）有最大值且最大值为