Question

设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围    ．

Answer

当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时=．当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（-x1，3-y1），向量PB=（x2，y2-3），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）2-4（9k2+4）×45＞0，所以k＞3或k＜-．由此入手能够求出的范围．
【解析】
当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时=．
当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，
设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（-x1，3-y1），向量PB=（x2，y2-3），
所以=，
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，
把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）2-4（9k2+4）×45＞0，
所以k＞3或k＜-，
设=λ，则x1=λx2，
因为x1+x2=-，x1x2=，
所以（1+λ）x2═-，，（1）
λx22=，（2）
显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
综上所述的范围是[）．
故答案为：[）．