Question

如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求二面角B-FC-G的正切值．

Answer

（1）连CG，FG，由已知中F是BE的中点，结合三角形中位线的性质，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四边形DEGC是平行四边形，进而得到DF∥CG，由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；
（2）易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影，故分别计算面积可求二面角的余弦值，从而得解．
证明：（1）连CG，FG，则四边形DEGC是平行四边形，得到DF∥CG
DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC
所以FD∥平面ABC；
（2）设二面角B-FC-G的大小为α
易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影
∴cosα=
∴tanα=