Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：，设，S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：．

Answer

（I）根据题中已知条件化简可得出an+12与an2的关系，再求出an2，即可得数列{an}的通项公式；
（II）根据（I）中求得的数列{an}的通项公式，然后可得 ，裂项求和即可．
【解析】
（I）∵，
∴an+12-an2=8（n+1）
∴an2=（an2-an-12）+（an-12-an-22）+…+（a22-a12）+a12=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）2
∴an=2n+1．…（5分）
（II）∴…（12分）