Question

已知向量=（sin（ωx+φ），2），=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜．函数f（x）=（+）•（-），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）首先由向量运算以及三角恒等变换化简f（x）=（+）•（-）=-cos（2ωx+2φ）+3，再由y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1判断出函数的周期是4，由周期公式求得ω，再由图象过点M（1，），代入求得φ，即得函数f（x）的表达式．
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，代入求得相位的取值范围结合余弦函数的单调性求函数f（x）的单调区间．
【解析】
（1）f（x）=（+）•（-）==sin2（ωx+φ）+4-1-cos2（ωx+φ），
=-cos（2ωx+2φ）+3
由题意得周期T==4，故ω=…（4分）
又图象过点M（1，），所以=3-cos（+2φ）
即sin2φ=，而0＜φ＜，所以2φ=
∴f（x）=3-cos（x+）
（2）当-1≤x≤1时，-≤x+≤
∴当-≤x+≤0时，即x∈[-1，-]时，f（x）是减函数
当0≤x+≤时，即x∈[-，1]时，f（x）是增函数
∴函数f（x）的单调减区间是[-1，-]，单调增区间是[-，1]