Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：（n≥1）；
（Ⅲ）令（a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有；②对于任意的，均存在n∈N^*，使得n≥n时，T_n＞m．

Answer

（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）即an=an-1+2n-1再用累加法求解．
（Ⅱ）由（I）求得bn，再观察Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）可用裂项相消法求解．
（Ⅲ）受（II ）的启发，我们可以先a=2研究，由（Ⅱ）知：，即条件①满足；又，
∴．
因为是恒成立，所以取n等于不超过的最大整数，则当n≥n时，Tn＞m（ⅱ）当a＞2时，∵n≥1，，∴，．（ⅲ）当0＜a＜2时，∵n≥1，，∴，分别放缩研究．
【解析】
（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）
即an=an-1+2n-1（n≥3）（1分）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2++22+5
=2n-1+2n-2++22+2+1+2
=2n+1（n≥3）（3分）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．（4分）
（Ⅱ）由于
故
=．（9分）
（Ⅲ）（ⅰ）当a=2时，由（Ⅱ）知：，即条件①满足；又，
∴．
取n等于不超过的最大整数，则当n≥n时，Tn＞m．（10分）
（ⅱ）当a＞2时，∵n≥1，，∴，
∴．
∴．
由（ⅰ）知存在n∈N*，当n≥n时，，
故存在n∈N*，当n≥n时，，不满足条件．（12分）
（ⅲ）当0＜a＜2时，∵n≥1，，∴，
∴．
∴．
取，若存在n∈N*，当n≥n时，Tn＞m，
则．
∴矛盾．故不存在n∈N*，
当n≥n时，Tn＞m．不满足条件．
综上所述：只有a=2时满足条件，故a=2．（14分）