Question

如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，试证明：当点P（m，n）在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，由AF=5BF，得2a=3c．（1）由题意设点C坐标（c，y），代入得椭圆的方程得出．最后由△ABC的面积为5，得出a，b的关系式解得a，b．最后写出椭圆M的方程．
（Ⅱ）点P（m，n）在椭圆C上，则m2+n2＞，从而得圆心O到直线l的距离 ，即直线l与圆O相交；直线l被圆O截得的弦长为 ，可得弦长t的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，
由AF=5BF，且AF=a+c，BF=a-c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c．（1）
由题意CF⊥AB，设 点C坐标（c，y），C在M上，
代入得
∴． 由△ABC的面积为5，
得，a2-c2=5．（2）
解（1）（2）得a=3，c=2．
∴b2=a2-c2=9-4=5．
∴所求椭圆M的方程为：．
（Ⅱ） 圆O到直线l：mx+ny=1距离d=，
由点P（m，n）在椭圆M上，则，
显然m2+n2＞，
∴m2+n2＞1，＞1，
∴d=＜1，
而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．
弦长t=2=2，
由得，
∴，t=2，
∵|m|≤a，∴0≤m2≤9，45≤4m2+45≤81，
∴，
弦长t的取值范围是[]．