Question

各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，单调增数列{b_n}的前n项和为S_n，a₄=b₃，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令（n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并说明理由．
（Ⅲ） 证明{a_n}中任意三项不可能构成等差数列．

Answer

（Ⅰ）由a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，知an=2n-1，b3=a4=8．由6Sn=bn2+3bn+2，知（bn+bn-1）（bn-bn-1）=3（bn+bn-1），由此能够求出bn=3n-1．
（Ⅱ）由bn=3n-1，知=，由此能求出满足条件Cn＞1的所有n的值为1，2，3，4．
（Ⅲ）假设{an}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使ap，aq，ar构成等差数列，所以2•2q-1=2p-1+2r-1．2q-p+1=1+2r-p．因左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立，即不存在任意三项能构成等差数列．
【解析】
（Ⅰ）∵a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，∵an＞0，∴q=2，∴an=2n-1
∴b3=a4=8．∵6Sn=bn2+3bn+2 ①
当n≥2时，6Sn-1=bn-12+3bn-1+2 ②
①-②得6bn=bn2-bn-12+3bn-3bn-1即（bn+bn-1）（bn-bn-1）=3（bn+bn-1）
∵bn＞0∴bn-bn-1=3，∴{bn}是公差为3的等差数列．
当n=1时，6b1=b12+3b1+2，解得b1=1或b1=2，
当b1=1时，bn=3n-2，此时b3=7，与b3=8矛盾；当b1=3时bn=3n-1，此时此时b3=8=a4，∴bn=3n-1．
（Ⅱ）∵bn=3n-1，∴=，∴c1=2＞1，c2=＞1，c3=2＞1，＞1，＜1，
下面证明当n≥5时，cn＜1
事实上，当n≥5时，=＜0
即cn+1＜cn，∵＜1∴当n≥5时，Cn＜1，
故满足条件Cn＞1的所有n的值为1，2，3，4．
（Ⅲ）假设{an}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使ap，aq，ar构成等差数列，
∴2aq=ap+ar，即2•2q-1=2p-1+2r-1．∴2q-p+1=1+2r-p．
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．