Question

已知数列{a_n}，{b_n}对任意正整数n，都有a_n+2=6a_n+1-9a_n，b_n+1-b_n=a_n，且a₁=9，a₂=45，b₁=1
（1）求证：存在实数λ，使数列是等差数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）数列是等差数列，通过，利用待定系数法，解方程求出λ值即可．
（2）利用bn+1-bn=an，以及是等差数列，求出an，通过错位相减法求出数列{bn}的通项公式．
【解析】
（1）证明：欲使为等差数列，只需
即an+1=2λan+1-λ2an，因为an+2=6an+1-9an，
∴存在实数λ=3，使是等差数列…（6分）
（2）bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=b1+a1+a2+…+an-1
∵是等差数列，
∴
∴an=（2n+1）•3n
∴bn=1+3×3+5×32+…+（2n-1）•3n-13bn=1×3+3×32+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n
∴-2bn=1+2（3×32+…+3n-1）-（2n-1）•3n=-2（n-1）•3n-2
故bn=（n-1）•3n+1…（12分）