Question

已知函数f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b²-16ac＜-1；
（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有？f（x）？≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；
（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．

Answer

（1）由于函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，所以ax2+2bx+4c=±x无解，从而△＜0，故可证；
（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于-，M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于 ；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于-，M（a）是方程ax2+8x+3=-5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于 ，又 大于 ，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式
【解析】
（1）证明：∵函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，
∴ax2+2bx+4c=±x无解
∴△＜0
∴4b2-16ac＜-1；
 （2）

把b=4，c=代入得：f（x）=ax2+8x+3=a +3-，
∵a＜0，所以f（x）max=3-
①当3-＞5，即-8＜a＜0时，
M（a）满足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-，
所以M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，
则M（a）==＜=；
②当3-≤5即a≤-8时，此时M（a）≥-，
所以M（a）是ax2+8x+3=-5的较大根，
则M（a）==≤=，
当且经当a=-8时取等号，
由于 ＞，因此当且经当a=-8时，M（a）取最大值 ；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）max=2a+2b=2，即a+b=1，
则-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-=0，解得b=0，从而a=1，
∴f（x）=x2-2．