(Ⅰ)求an=2+sinn的值域为1≤an=2+sinn≤3,根据有界数列的定义可以判断;
(Ⅱ)对公比q进行讨论,当0<q<1时,,易知正数数列{Sn}满足,即为有界数列;当q=1时,Sn=na1→+∞,故为无界数列;当q>1时,Sn=a1+a2+…+an>na1→+∞,此时为无界数列,从而得结论.
(Ⅲ){an}为无界数列,利用放缩法,转换为利用等比数列求和可证.
【解析】
(Ⅰ)1≤an=2+sinn≤3,
故{an}为有界数列…(2分)
(Ⅱ)设公比为q,当0<q<1时,,
则正数数列{Sn}满足,即为有界数列;
当q=1时,Sn=na1→+∞,故为无界数列;
当q>1时,Sn=a1+a2+…+an>na1→+∞,此时为无界数列.
综上:当且仅当0<q<1时,{Sn}为有界数列…(6分).
(Ⅲ){an}为无界数列,事实上
∴
∴=
∴
故当n无限增大时an也无限增大,
所以{an}无界…(12分).