Question

某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m-x）x²成正比；②当时，；③，其中a为常数，且a∈[0，2]
（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式；
（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值．

Answer

（1）根据y与（m-x）x2成正比，建立关系式，再根据②求出比例系数，得到函数f（x）的表达式，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．
（2）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．
【解析】
（1）∵y与（m-x）x2成正比，∴设y=f（x）=k（m-x）x2，又时，
∴解得k=4，从而有y=4（m-x）x2…（2分）
由解得
故f（x）=4（m-x）x2…（4分）
（2）∵f（x）=4mx2-4x3，∴f'（x）=4x（2m-3x）
令f'（x）=0解得x1=0，…（5分）
（ⅰ） 若，即，当x∈（0，时，f'（x）＞0
所以f（x）在[0，上单调递增；
当时，f'（x）＜0，由于f（x）在，上单调递减，
故当时，f（x）取得最大值…（8分）
（ⅱ） 若，即时，当x∈（0，时，
由于f'（x）＞0，∴f（x）在[0，上单调递增，
故…（11分）
综上可知：时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为．…（12分）