Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2时取得极值，且图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）讨论函数y=f（x）的单调性，并求函数y=f（x）在区间[-3，3]上的最值及相应x的值．

Answer

（I）欲求函数的解析式，只需找到关于a，b，c的三个等式即可，因为函数f（x）在x=-2时取得极值，所以当x=-2时，导数等于0，因为函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．所以当x=1时，导数等于-3，原函数值等于0，这样就得到关于a，b，c的三个等式，解出a，b，c即可．
（II）利用导数求函数的单调区间，则当导数大于0时，解得x的范围为函数的增区间，当x小于0时，解得x的范围为函数的减区间，增区间与减区间的分解处为极值点，比较函数的极大值与端点函数值，其中最大的为函数的最大值，比较函数的极小值与端点函数值，最小的为函数的最小值．
【解析】
（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0
即12-4a+b=0①
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=-3，f（1）=0
即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0
由①②解得a=1，b=-8，c=6
∴f（x）=x3+x2-8x+6
（II）f′（x）=3x2+2x-8，令f′（x）＞0，解得，x＞，或x＜-2
令f′（x）＜0，解得，-2＜x＜，
∴函数的增区间为（-∞，-2）和（，+∞）
函数的减区间为（-2，）
∴当x=-2时，函数有极大值为18，当x=时，函数有极小值为
又∵f（-3）=12，f（3）=18
∴当x=时，函数有最小值，当x=-2或3时，函数有最大值18