Question

已知焦点在x轴上的椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，椭圆的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，点P是椭圆上一动点且△F₁F₂P的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F₂作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，点M（m，0）是x轴上不同于原点的一个动点，求满足条件的实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意设椭圆的右焦点（c，0 ），则由点P是椭圆上一动点且△F1F2P的面积最大值为2，求出c值，进而可求出a，b值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入=0，解得 m=-=-，再利用不等式的性质求出m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）抛物线的焦点为（0，1），设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意
∵点P是椭圆上一动点且△F1F2P的面积最大值为2．
∴c=2，∴a=，b=1，故椭圆的标准方程为 =1．
（Ⅱ）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得  （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴（ +）=（x1-m，y1）+（x2-m，y2 ）=（x1+x2-2m，y1+y2 ）．
由，可得 （ +）•=（x1+x2-2m，y1+y2 ）•（x2-x1，y2-y1）
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化简可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-，
∴m=-=-．∵k2＞0，∴0＜＜，
∴-＜m＜0． 故m的取值范围是[-，0）．