Question

设函数f（x）=（x-2）²+blnx，其中b为常数．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域上单调递增，求b的取值范围；
（Ⅱ）若b≤0，求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）当b=-6时，利用函数f（x）的性质证明：对任意大于1的正整数n，不等式恒成立．

Answer

（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于 2得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；
（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；
（3）由b=-6，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为 3，得到函数的递减区间为（0，3），根据当n＞1时，，利用函数为减函数恒有 ，化简得证．
【解析】
（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），．
∴当 b＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）令 ，
得 ，．
当b≤0时，∉（0，+∞）（舍去），
而 ∈（0，+∞），
此时：f′（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点 ；
（3）由（2）可知当b=-6时，函数f（x）=（x-2）2-6lnx，此时f（x）有惟一极小值点：x=3，
且 x∈（0，3）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）为减函数．
∵当n＞1时，，
∴恒有 ，
∴当n＞1时，恒有不等式成立．