Question

（文）如果函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，那么实数b的取值范围（ ）
A．（-∞，2]
B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
C．[-2，+∞）
D．（-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer

函数f（x）=x2-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，只须函数f（x）=x2-bx+2在闭区间[-1，2]上是单调函数⇔f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]恒成立，从而转化求函数g（x）=2x，在[-1，2]上的最值问题解决即可．
【解析】
对函数求导可得，f′（x）=2x-b，
函数f（x）=x2-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，只须函数f（x）=x2-bx+2在闭区间[-1，2]上是单调函数
即f′（x）=2x-b≥0或f′（x）=2x-b≤0在[-1，2]恒成立
即b≤2x或b≥2x在[-1，2]上恒成立
令g（x）=2x，则g（x）在[-1，2]上的最小值为-2，最大值是g（2）=4
∴a≤-2或a≥4
故选D．