Question

△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．1或

Answer

从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出sinC=1；另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出sinC．
【解析】
从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，
AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，根据勾股定理，AE=，BE=，AB=AE+BE=h，
根据勾股定理逆定理，AB2=BC2+AC2，
（h）2=（h）2+（2h）2，
∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，
根据余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC，
（h）2=（2h）2+（h）2-2×2h×hcosC，
cosC=，
sinC==，
故角ACB的正弦值是1或．
故选D．