Question

如图，在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AD中点，
（1）求二面角E-A₁C₁-D₁的平面角的余弦值；
（2）求四面体B-A₁C₁E的体积．
（3）（文） 求E点到平面A₁C₁B的距离
（4）（文）求二面角B-A₁C₁-B₁的平面角的余弦值．

Answer

（1）先作出二面角E-A1C1-D1的平面角：在A1D1上取中点F．连接EF过F作FM⊥A1C1于A1C1上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A1C1-D1的平面角．再在△A1C1D1中，可求；
（2）求四面体B-A1C1E的体积，可以转换底面，求VC1-A1BN，即可；
（3）将E到平面BA1C1的距离转化为M点到平面BA1C1的距离，再在△MHB中可求；
（4）先利用三垂线定理确定二面角的平面角，再在△BO1B1中求解．
【解析】
（1）在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E为AD中点，在A1D1上取中点F．连接EF过F作FM⊥A1C1于A1C1上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A1C1-D1的平面角．
在△A1C1D1中，FM=B1D1=，又EF⊥FM，EF=1
∴tan∠EMF==2，从而cos∠EMF=．
∴二面角E-A1C1-D1的余弦值为
（2）在平面ABCD内，延长BA到N点，使AN=，故NE∥A1C1，∴NE∥面BA1C1
∴VB-A1C1E=VE-A1BC1=VN-A1C1E=VC1-A1BN
=•（••1）•1=

（3）（文）取DC中点F，连接EF交BD于M点，又E为AD中点，故可知EF∥A1C1，则EF∥面BA1C1，
因此E到平面BA1C1的距离就是M点到平面BA1C1的距离．
在对角面BA1D1D内，过M作MH⊥O1B交OB1于H，
∵A1C1⊥面BB1D1D，则面BD1⊥面BA1C1而MH⊥O1B，则MH⊥面BA1C1，
又∵sin∠DBO1= 故在△MHB中，MH=BM•sin∠DBO1=•=
故E到平面BA1C1之距离为
（4）

在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1连B1D1，则B1D1⊥A1C1，设其交点为O1，连O1B．
则由三垂线定理可知O1B⊥A1C1
∴∠BO1B1为二面角B-A1C1-B1的平面角．
又BB1=1，O1B=，∴tan∠BO1B1=，从而cos∠BO1B1==．