Question

（1）已知函数m（x）=ax²e^-x （a＞0），求证：函数y=m（x）在区间[2，+∞）上为减函数．
（2）已知函数f（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）欲证函数y=m（x）在区间[2，+∞）上为减函数，求出导函数f′（x），只须证明f′（x）＜0即可；
（2）欲在（0，+∞）上至少存在一点x，使f（x）＞g（x）成立，只需f（x）=的最大值大于1，建立不等关系，解之即可．
【解析】
（1）m'（x）=axe-x（2-x），而ax＞0，∴当x＞2时，m'（x）＜0，因此m（x）在[2，+∞）上为减函数．
（2）记m（x）=，则m'（x）=（-ax2+2a）e-x，
当x＞时，m'（x）＜0 当0＜x＜时，m'（x）＞0
故m（x）在x=时取最大值，同时也为最大值．m（x）max=m（）=
依题意，要在（0，+∞）上存在一点x，使f（x）＞g（x）成立．即使m（x）＞1只需m（）＞1
即＞1∴，因此，所求实数a的取值范围为（，+∞）