Question

已知点（a_n，a_n-1）在曲线f（x）=上，且a₁=1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：（n∈N*）
（3）求证：数列{a_n}前n项和（n≥1，n∈N*）

Answer

（ 1）由f（x）=知x满足：x2+≥0，≥0，所以≥0．由此能够求出f（x）定义域．
（2）由an+12=an2+，则an+12-an2=，知=an+12-a12=an+12-1．要证明：，只需证明：．由数学归纳法能够证明原不等式成立．
（3）要证明：，只需证：（n≥2）．用分析法可以证明Sn=a1+a2+…+an≤1+2（++…+）=．
【解析】
（1）由f（x）=知x满足：x2+≥0，
∴≥0，
∴≥0
∴≥0，
故x＞0，或x≤-1．
f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）证明：∵an+12=an2+，则an+12-an2=，
于是有：=an+12-a12=an+12-1
要证明：
只需证明：（*） 
下面使用数学归纳法证明：（n≥1，n∈N*） 
  ①在n=1时，a1=1，＜a1＜2，则n=1时 （*）式成立．
②假设n=k时，成立，
由 
要证明：，
只需2k+1≤只需（2k+1）3≤8k（k+1）2
只需1≤4k2+2k，而4k2+2k≥1在k≥1时，恒成立，
于是，于是，
又，
要证
只需证：，
只需证：4k2+11k+8＞0，而4k2+11k+8＞0在k≥1时恒成立．
于是：．
因此 得证．
综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．
（3）证明：要证明：，
由（2）可知只需证：（n≥2）（**）
下面用分析法证明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需证：（3n-2）＞（3n-1）
即只需证：（3n-2）3n＞（3n-1）3（n-1），
只需证：2n＞1．
而2n＞1在n≥1时显然成立，
故（**）式得证．
于是由（**）式可知有：++…+≤
因此有：Sn=a1+a2+…+an≤1+2（++…+）=