Question

如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，DA⊂α，BC⊂α，且DA⊥l于A，BC⊥l于B，AD=4，BC=8，AB=6，点P是平面β内不在l上的一动点，记PD与平面β所成角为θ₁，PC与平面β所成角为θ₂．若θ₁=θ₂，则△PAB的面积的最大值是    ．

Answer

由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，根据题设条件可得出PB=2PA，作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t，将三角形的面积用t表示出来，再研究面积的最值选出正确选项
【解析】
由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠ADP=∠BCP，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA
∴PA2-t2=4PA2-（6-t）2PA2-t2=4PA2-（6-t）2
解得PA2=12-4t
∴PM=
∴S=×AB×PM=×6×=3≤12．
即三角形面积的最大值为12
故答案为：12．