Question

如图，矩形ABCD与正三角形APD中，AD=2，DC=1，E为AD的中点，现将正三角形APD沿AD折起，得到四棱锥P-ABCD，该四棱锥的三视图如下：

（I）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求异面直线BE，PD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer

（I）由已知中的三视图，我们可以判断出四棱锥P-ABCD的底面是长为2，宽为1的矩形，高为，代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）P点在平面ABCD的射影为BC的中点O，连接OD，由三角形的中位线定理可得DE∥BO，DE=BO，进而可得OD∥BE，则∠PDO即为异面直线BE，PD所成角，解三角形即可得到答案．
（III）作CH⊥PD于H，连接EH，CE，我们可以得到∠EHC为二面角A-PD-C的平面角，解△CEH，即可得到二面角A-PD-C的正弦值．
【解析】
（I）由三视图可知四棱锥的高为，
∴
（Ⅱ）由题意可知，P点在平面ABCD的射影为BC的中点O，连接OD
在矩形ABCD中，DE∥BO，且DE=BO∴OD∥BE，且OD=BE
∵异面直面BE，PD所成角等于PD于DO的所成角
∵PO⊥平面ABCD且
又∵∴∠PDO=45°
∴异面直线BE，PD所成角的大小为45°
（Ⅲ）作CH⊥PD于H，连接EH，CE

又∵DE=DC，DH=DH
∴△EDH≌△CDH
∴
∴EH⊥PD∴∠EHC为二面角A-PD-C的平面角
在△CEH中，
∵
∴二面角A-PD-C的正弦值为