Question

已知直线l：y=kx+m交抛物线C：x²=4y于相异两点A，B．过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于M点．
（I）若M（2，-1），求直线l的方程；  （Ⅱ）若|AB|=4，求△ABM面积的最大值．

Answer

（I）设出两个切点的坐标，利用函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，求出两条切线的方程，联立得到交点坐标即为M，列出方程得到k=，m．
（II）将直线的方程代入抛物线的方程，利用韦达定理及弦长公式表示出|AB|，利用三角形的面积公式将三角形的面积表示成关于k的函数，通过求函数的最大值得到三角形的最大值．
【解析】
（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），
则
∵，
∴
∴切线方程：
两式联立且有，
可得①
将y=kx+m代入x2=4y得x2-4kx-4m=0
由题可知△=16（k2+m）＞0且x1+x2=4k，x1x2=-4m
∴x=2k，y=-2m
即M（2k，-2m）
当M（2，-1）时，则2k=2，-2m=-1
∴k=1，m=
∴直线l的方程为y=x+
（Ⅱ）∵
∴M到AB的距离为∴
△ABM面积
当k=0时，△ABM面积的最大值为4．