Question

已知函数（e是自然对数的底数），g（x）=ax（a是实数）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范围．

Answer

（I）求出函数的导数，通过导数值的符号确定函数的单调增区间与函数的单调减区间．
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求出否命题的范围即可，利用函数的导数确定函数的最小值大于0时，a的取值范围，然后求出原命题的a的范围．
【解析】
（I）∵∴
由，解得x＜0或x＞1
由，解得0＜x＜1
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，0）和（1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即在x∈[2，+∞）上恒成立
首先，即
其次，考虑
∵在x∈[2，+∞）上恒成立
∴∴当时，
∴h（x）在x∈[2，+∞）上递增，又h（2）≥0
∴在x∈[2，+∞）上恒成立，故
∴原题的结论为：