Question

（文） 已知函数f（x）=-4sin²x．
（1）求函数f（x）的定义域和最大值；  
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer

（1）函数的解析式知，自变量x要满足cos2x≠0，由此即可解出定义域，求函数的值域要先对函数的解析式进行化简，解析式可变为f（x）=4sin（2x+）-2由三角函数的有界性易得函数的最值；
（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+）-2，求此函数的单调性增区间，令相位2x+∈[2kπ-，2kπ+]，从中解出x的取值范围，即为函数的单调增区间．
【解析】
（1）由f（x）=-4sin2x，x要满足cos2x≠0，从而2x≠kπ+ （k∈Z）
因此f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈Z）}
又f（x）=2sin2x-2（2sin2x-1）-2=2sin2x+cos2x-2=4sin（2x+）-2
∴-6≤f（x）≤2，当2x+=2kπ+，有f（x）=2
∴x=kπ+，k∈Z时，f（x）的最大值为2
（2）由f（x）=4sin（2x+）-2，2x≠2kπ± 
由2kπ-≤2x+≤2kπ+可知：
kπ-≤x≤kπ+ 且x≠kπ- 
于是f（x）在[kπ-，kπ-）上为增函数，在（kπ-，kπ+]上也是增函数．