( 1)由f(x)=知x满足:x2+≥0,≥0,所以≥0.由此能够求出f(x)定义域.
(2)由an+12=an2+,则an+12-an2=,知=an+12-a12=an+12-1.要证明:,只需证明:.由数学归纳法能够证明原不等式成立.
(3)要证明:,只需证:(n≥2).用分析法可以证明Sn=a1+a2+…+an≤1+2(++…+)=.
【解析】
(1)由f(x)=知x满足:x2+≥0,
∴≥0,
∴≥0
∴≥0,
故x>0,或x≤-1.
f(x)定义域为:(-∞,-1]∪(0,+∞).
(2)证明:∵an+12=an2+,则an+12-an2=,
于是有:=an+12-a12=an+12-1
要证明:
只需证明:(*)
下面使用数学归纳法证明:(n≥1,n∈N*)
①在n=1时,a1=1,<a1<2,则n=1时 (*)式成立.
②假设n=k时,成立,
由
要证明:,
只需2k+1≤只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k,而4k2+2k≥1在k≥1时,恒成立,
于是,于是,
又,
要证
只需证:,
只需证:4k2+11k+8>0,而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.
于是:.
因此 得证.
综合①②可知(*)式得证,从而原不等式成立.
(3)证明:要证明:,
由(2)可知只需证:(n≥2)(**)
下面用分析法证明:(**)式成立.
要使(**)成立,
只需证:(3n-2)>(3n-1)
即只需证:(3n-2)3n>(3n-1)3(n-1),
只需证:2n>1.
而2n>1在n≥1时显然成立,
故(**)式得证.
于是由(**)式可知有:++…+≤
因此有:Sn=a1+a2+…+an≤1+2(++…+)=