Question

对于数列a_n，（1）已知a_n是一个公差不为零的等差数列，a₅=6．
①当a₃=2时，若自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比数列，试用t表示n_t；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…构成一个等比数列．求证：当a₃是整数时，a₃必为12的正约数．
（2）若数列a_n满足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，求a₁的取值范围．

Answer

（1）①在等差数列{an}中，由a5=6，a3=2，求出公差d，然后求出通项an，进而求出ant，由a3，a5an1，an2，…，ant…是等比数列，且可求出公比q，再求出ant，两次求出的ant相等，找出n与t的关系；
  ②由a3，a5an1，an2，…，ant…是等比数列，由等比中项可得a3an1=a52，即．，又由已知已知{an}是等差数列，可求==，整理可得，由n为正整数可知a3为12的正约数
（2）由an+1an+3an+1+an+4=0，得an+1an+2an+1+2an+4=an-an+1，
即（an+1+2）（an+2）=（an+2）-（an+1+2）．a2009小于数列an中的其他任何一项，可知an不是常数列，构造新的等差数列，并借助该数列的单调性与反证法求出a1的范围．
【解析】
（1）①因为a3=2，a5=6，所以，公差d=，
从而an=a5+（n-5）d=2n-4（2分）
又a3，a5，an1，an2，ant，是等比数列，所以公比q=，所以
ant=a5•3t=2•3t+1，t∈N*．
又ant=2nt-4，所以2nt-4=2•3t+1，所以
nt=3t+1+2，t∈N*．（4分）
②因为n1＞5时，a3，a5，an1成等比数列，所以a3an1=a52，即．（6分）
所以当n≥3时，
，
所以，
即，
所以．
，解得．
因为n1是整数，且n1＞5，所以是正整数，从而整数a3必为12的正约数．（8分）
（2）由an+1an+3an+1+an+4=0，得an+1an+2an+1+2an+4=an-an+1，
即（an+1+2）（an+2）=（an+2）-（an+1+2）．（*）（10分）
由（*）知：若存在ak=-2，则ak+1=-2；若存在ak+1=-2，则ak=-2，所以an是常数列，与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾，因此（an+1+2）（an+2）≠0．
由（*）式知，从而数列是首项为，公差为1的等差数列，即．（12分）
方法一由于数列是递增数列，且a2009小于数列{an}中的其他任何一项，即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项，所以a2009+2＜0，
且a2010+2＞0，这是因为若a2009+2＞0，则由，
得a2009+2＞a2010+2＞0，即a2009＞a2010，与
“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾：，与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾：因此，，
即，
即，
即-1
综上，a1的取值范围是
方法二
当n＜1-时，an+2单调递增，且an+2＜0；
当n＞1-时，2+an单调递减，且an+2＞0．
由于a2009小于数列{an}中的其他任何一项，即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项，
所以a2009+2＜0，且a2010+2＞0，
，
即-2009＜，
即-；
解得-．
综上，a1的取值范围是．（16分）