Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{的前n项之和S_n．

Answer

（I）在等式an=2an-1+2n的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，利用对称数列的通项公式求出，进一步求出数列{an}的通项公式．
（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
【解析】
（I）∵an=2an-1+2n
∴=
即
∴数列是等差数列，公差为=1，首项为
∴
∴an=（2n-1）•2n-1
（II）Sn=1•2+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1
∴2Sn=1•21+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n
两式相减得
-Sn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）2n=（3-2n）•2n-3
∴Sn=（2n-3）•2n+3