Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长是2，点E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求二面角C₁-DE-C的平面角的大小；
（3）求三棱锥D₁-AEC₁的体积．

Answer

（1）设CD1，C1D交于点O，连接OE，在三角形BCD1中，得到OE∥BD1，从而可证明BD1∥平面C1DE．
（2）过C作CF⊥DE于点F，连接C1F，由三垂线定理得，∠C1FC为二面角C1-DE-C的平面角，在直角三角形C1FC中求解即可．
（3）因为AB∥C1D1，可将V D1-AEC1 即V A--D1EC1 转化为V B-D1EC1  计算．
【解析】
（1）证明：设CD1，C1D交于点O，连接OE，在三角形BCD1中，O为CD1 中点，E为BC中点，∴OE∥BD1，OE⊂面C1DE，BD1⊄面C1DE，∴BD1∥平面C1DE．
（2）过C作CF⊥DE于点F，连接C1F，由三垂线定理得，C1F⊥DE，∴∠C1FC为二面角C1-DE-C的平面角，
   根据等面积法，DC×CE=DE×CF，∴CF=
 在直角三角形C1FC中，tan∠C1FC==．所以二面角C1-DE-C的平面角的大小为arctan．
（3）因为AB∥C1D1，所以点A到平面C1D1E的距离等于B到平面C1D1E的距离．
∴V D1-AEC1=V A--D1EC1=V B-D1EC1=V D1-BEC1=×2=