Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…b_n•2^n-1，
求证：①对于任意正整数n，都有．②对于任意的m，均存在n∈N^*，使得n≥n时，T_n＞m．

Answer

（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3），所以an=an-1+2n-1（n≥3），由此能够求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）①由于==．由此能够证明对于任意正整数n，都有．
②若Tn＞m，其中m∈，则有，则，故，由此能够证明对于任意的m，均存在n∈N*，使得n≥n时，Tn＞m．
【解析】
（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3），
即an=an-1+2n-1（n≥3）…（1分）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2+…+22+5
=2n-1+2n-2+…+22+2+1+2
=2n+1，n≥3．…（3分）
检验知n=1，2时，结论也成立
故an=2n+1．…（4分）
（Ⅱ） ①由于
=
=．
故Tn=b1+b2•2+b3•22+…+bn•2n-1
=+…+
=
＜
=．…（9分）
②若Tn＞m，其中m∈，则有，
则，
故，
取
=[]（其中[x]表示不超过x的最大整数），
则当n＞n时，Tn＞m．…（14分）