Question

已知函数f（x）满足．
（1）当x∈N₊时，求f（n）的表达式；
（2）设，求证：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设，求．

Answer

（1）由f（n+1）=f（n）•f（1）=，，利用等比数列的通项公式能求出f（n）=．
（2）由=．设Sn=a1+a2+…+an，则Sn=，再由错位相减法能够证明a1+a2+…+an＜2．
（3）由，能求出Sn=b1+b2+b3+…+bn=．再由裂项求和法能够得到求出．
【解析】
（1）令x=n，y=1，得到
f（n+1）=f（n）•f（1）=
∵f（n+1）=f（n），，
∴{f（n）}是首项为，公比为的等比数列，
由等比数列前n项和公式，知
∴f（n）=．
（2）∵f（n）=，∴=．
设Sn=a1+a2+…+an，
则Sn=，
两边同乘，
得，
错位相减，得
=
=1--，
∴．
所以a1+a2+…+an＜2．
（3）∵
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=
=．
∴
=
=4（1-），
∴==4．