Question

已知=（0，1），直线l：y=-1，动点P到直线l的距离d=||
（1）求动点P的轨迹方程M；
（2）证明命题A：“若直线m交动点P的轨迹M于C、D两点，如m过B点，则•=-3”为真命题；
（3）写出命题A的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），由题设知|y+1|=，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线m的方程y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），把y=kx+1代入x2=4y，得x2-4kx-4=0，由此能证明•=-3．
（3）命题A的逆命题：“若直线m交动点P的轨迹M于不同两点C，D，且 •=-3，则直线m过点B（0，1）”．该逆命题是假命．证明：设直线m的方程：y=kx+n C（x1，y1），D（x2，y2），把y=kx+n代入x2=4y，得x2-4kx-4n=0，则x1x2=-4n，y1y2=k2x1x2+nk（x1+x2）+n2=-4nk2+4nk2+n2=n2，由此能证明逆命题是假命题．
【解析】
（1）设P（x，y），由题设知
|y+1|=，
解得动点P的轨迹方程M为：x2=4y．
（2）设直线m的方程：y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），把y=kx+1代入x2=4y，得
x2-4kx-4=0，则x1x2=-4，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-4k2+4k2+1=1，
∴•=-3．
（3）命题A的逆命题：“若直线m交动点P的轨迹M于不同两点C，D，且 •=-3，则直线m过点B（0，1）”．
证明：设直线m的方程：y=kx+n C（x1，y1），D（x2，y2），把y=kx+n代入x2=4y，得
x2-4kx-4n=0，则x1x2=-4n，y1y2=k2x1x2+nk（x1+x2）+n2=-4nk2+4nk2+n2=n2，
∵•=（x1，y1）×（x2，y2）=x1x2+y1y2=-3，
∴-4n+n2=-3，
∴n=1或n=3，
即直线m过点（0，1 ）或（0，3），
∴逆命题是假命题．