Question

关于θ的方程2^cosθ=sinθ在区间[0，2π]上的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

Answer

方程2cosθ=sinθ在[0，2π）上的根的个数即函数y=2cosθ和y=sinθ图象交点的个数．而y=2cosθ的图象可通过求导，判单调性和极值解决．
【解析】
令y=2cosθ，y′=y=-2cosθln2•sinθ，
∵2cosθln2＞0，令y′＞0，得sinθ＜0，θ∈（π，2π），
∴在 （0，π）上减，在 （π，2π）上增，
故函数y=2cosθ与y=sinθ图象在[0，2π）上有两个交点，
故方程2cosθ=sinθ在[0，2π）上的根的个数为2．
故选C．