Question

已知数列{a_n}中，，点（n，，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直线y=x上．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（I）由已知中点（n，2an+1-an）（n∈N*）在直线y=x上可得n=2an+1-an，结合，依次代入n=2，n=3，n=4中即可得到a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）由已知中bn=an+1-an-1，我们可以分别计算出bn及bn+1的表达式，然后代入中，易判断为定值，结合，求出b1的值，即可判断出数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）由（II）的结论我们易给出数列{bn}的通项公式，然后结合bn=an+1-an-1，利用累加法即可求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）由题意，．（2分）
同理，（3分）
（Ⅱ）因为2an+1-an=n，
所以，（5分）（7分）
又，所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（10分）
∴an+1-an-1=∴an+1-an=+1（11分）
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）（12分）
=-+n-1
=（14分）