Question

数列．
（1）求证：①a_n＜a_n+1；②1≤a_n＜2；（2）比较的大小，并加以证明．

Answer

（1）①欲比较an与an+1的大小，利用作差比较，然后进配方可判定正负；②直接利用数学归纳法进行证明即可；
（2）由an+1=，从而，从而求出的值，然后利用作差比较的大小即可．
【解析】
（1）证明：①因为an+1-an=≥0，
当且仅当an=2时，an+1=an．
因为a1=1，所以an+1-an＞0，即an＜an+1（n=1，2，3，…）．…（3分）
②因为，由①得an≥1（n∈N*）．（i）
下面证明：对于任意n∈N*，有an＜2成立．当n=1时，由a1=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即ak＜2．
因为an+1=在x≥1时单调递增，
所以ak+1＜=2．
即当n=k+1时，结论也成立．
于是，当n∈N*时，有an＜2成立．（ii）
根据（i）、（ii）得1≤an＜2．…（9分）
（2）由an+1=，
从而．
因为a1=1，所以…（11分）
所以
=．
由a1=1及an+1=．
所以，当n=1时，；当n=2时，；
当n≥3时，由
⇒…（14分）