Question

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51．假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响．
（I）求p的值；
（II）设试验成功的方案的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer

（I）由题意知记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1-p．列出等式，解出变量P．
（II）由题意知ξ的可取值为0，1，2．当ξ=0时表示试验成功的方案的个数为0，当ξ=1时表示试验成功的方案的个数为1，当ξ=2时表示试验成功的方案的个数为2，根据独立重复试验概率公式得到分布列算出期望．
【解析】
（I）记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，
则至少有一套试验成功的事件为．
由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1-p．
∴P（A）=（1-p）2，
∴．
令1-（1-p）2=0.51，解得p=0.3．

（II）【解析】
ξ的可取值为0，1，2．
∵当ξ=0时表示试验成功的方案的个数为0，
当ξ=1时表示试验成功的方案的个数为1，
当ξ=2时表示试验成功的方案的个数为2，
根据独立重复试验概率公式得到分布列
P（ξ=0）=（1-0.3）2=0.49，
P（ξ=1）=2×0.3×（1-0.3）=0.42，
P（ξ=2）=0.32=0.09．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）=0.6．