Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大小；
（III）求点c到平面AB₁D的距离．

Answer

法一（I）连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．由ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，知四边形A1ABB1是正方形，由此能够证明A1C∥平面AB1D．
（II）在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．因为平面A1ABB1⊥平面ABC，所以DF⊥平面A1ABB1，∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角．由此能求出二面角B-AB1-D的大小．
（III）因为平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，所以AD⊥平面B1BCC1，又AD⊂平面AB1D，所以平面B1BCC1⊥平面AB1D．在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，由此能求出点C到平面AB1D的距离．
解法二：
（I）建立空间直角坐标系D-xyz，连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．设A1A=AB=1，则，，所以A1C∥DE．由此能够证明A1C∥平面AB1D．
（II）由，知，设n1=（p，q，r）是平面AB1D的法向量，=（），同理，可求得平面AB1B的法向量是．由此能求出二面角B-AB1-D的大小．
（III）平面AB1D的法向量为n1=（2，0，1），取其单位法向量．由此能求出点C到平面AB1D的距离．
解法一（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，
∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C．…（3分）
∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．…（4分）
（II）【解析】
在面ABC内作DF⊥AB于点F，
在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．
∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，
∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角 …（7分）
设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=．
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B-AB1-D的大小为．…（9分）
（III）【解析】
∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD⊂平面AB1D，
∴平面B1BCC1⊥平面AB1D．
在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离．…（12分）
由△CDH∽△B1DB，得．
即点C到平面AB1D的距离是．…（14分）
解法二：
建立空间直角坐标系D-xyz，如图

（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
设A1A=AB=1，
则．∴，∴，
∴A1C∥DE．…（3分）
∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．…（4分）
（II）【解析】
∵，
∴，
设n1=（p，q，r）是平面AB1D的法向量，
则，
故；
同理，可求得平面AB1B的法向量是．…（7分）
设二面角B-AB1-D的大小为θ，
∵，
∴二面角B-AB1-D的大小为．…（9分）
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量为n1=（2，0，1），
取其单位法向量．
∴点C到平面AB1D的距离．…（14分）