Question

已知椭圆C：的长轴长是短轴长的倍，F₁，F₂是它的左，右焦点．
（1）若P∈C，且，|PF₁|•|PF₂|=4，求F₁、F₂的坐标；
（2）在（1）的条件下，过动点Q作以F₂为圆心、以1为半径的圆的切线QM（M是切点），且使，求动点Q的轨迹方程．

Answer

（1）依题意知，由，知|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=4（a2-b2）=8b2，由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，（|PF1|+|PF2|）2=8b2+8=4a2，由此能求出F1、F2的坐标．
（2）由，知|QF1|2=2|QM|2，由QM是⊙F2的切线，知|QF1|2=2（|QF2|2-1）．设Q（x，y），则（x+2）2+y2=2[（x-2）2+y2-1]．由此能求出动点Q的轨迹方程．
【解析】
（1）依题意知①（1分）
∵∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=4（a2-b2）=8b2（3分）
又P∈C，由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，
（|PF1|+|PF2|）2=8b2+8=4a2②（5分）
由①②得a2=6，b2=2⇒c=2．
∴F1（-2，0）、F2（2，0）（7分）
（2）由已知，
即|QF1|2=2|QM|2（9分）
∵QM是⊙F2的切线，
∴|QM|2=|QF2|2-1
∴|QF1|2=2（|QF2|2-1）（11分）
设Q（x，y），
则（x+2）2+y2=2[（x-2）2+y2-1]
即（x-6）2+y2=34（或x2+y2-12x+2=0）（13分）
综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：（x-6）2+y2=34（14分）