Question

已知函数f（x）=2-，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n≥2，nN^*）．若，数列{b_n}满足
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=（2b_n+6）•2^n-1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据条件，可得，由，两者结合可得，，利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据题中条件可求得，cn=（2n-1）•2n-1，Tn=1+3×21+5×22+…+（2n-1）•2n-1，利用错位相减法可求得Tn．
证明：（1）由已知得：（n≥2，nN*）．                  …（2分）
∴，，，…（4分）
∴ （n≥2，nN*）．
∴数列{bn}是等差数列．                                   …（6分）
【解析】
（2）由（1）知，数列{bn}是等差数列，首项，公差为1，
则其通项公式，…（8分）
∴cn=（2bn+6）•2n-1=（2n-1）•2n-1                    …（10分）
∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×21+5×22+…+（2n-1）•2n-1，①
2Tn═1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n②
两式相减得：
Tn=-1-2（21+22+23+…+2n-1）+（2n-1）•2n=（2n-3）•2n+3，
∴Tn=（2n-3）•2n+3．…（12分）