Question

双曲线M的中心在原点，并以椭圆+=1的焦点为焦点，以抛物线y²=-2x的准线为右准线．
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+3 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点．
①当k为何值时，使得•=0？
②是否存在这样的实数k，使A、B两点关于直线y=mx+12对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意可得所求的双曲线的半焦距，准线为：x=从而可得，可求双曲线M的方程
（Ⅱ）①设直线l与双曲线M的交点为A（x1，y1）B（x2，y2）、联立方程组消去y（k2-3）x2+6kx+18=0，设A（x1，y1）B（x2，y2）、则k2-3≠0，△=36k2-4（k2-3）×18＞0，解可得，，从而有
由，则有x1x2+y1y2=0，可求k
②若存在实k，使A、B两点关于直线y=mx+12对称，则必有
当m≠0时，利用点差法，由可得，3（x12-x22）-（y12-y22）=0即，再由A、B中点P（）在直线y=mx+12上，代入可求
【解析】
（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，
又抛物线的准线为：x=．（2分）
设双曲线M的方程为，依题意有
故，又b2=c2-a2=12-3=9．
∴双曲线M的方程为．（4分）
（Ⅱ）设直线l与双曲线M的交点为A（x1，y1）B（x2，y2）、两点
联立方程组消去y得（k2-3）x2+6kx+18=0，（5分）
∵A（x1，y1）B（x2，y2）、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，∴k2-3≠0
∴△=36k2-4（k2-3）×18＞0，解可得，，
从而有．（7分）
∴y1y2=（kx1+3）（kx2+3）=k2x1x2+3k（x1+x2）+9=．
若，则有x1x2+y1y2=0，即
∴k=±1
∴当k=±1时，使得，（10分）
②若存在实k，使A、B两点关于直线y=mx+12对称，则必有
因此，当m=0时，不存在满足条件的k；
当m≠0时，由得3（x12-x22）-（y12-y22）=0
∴
∵A、B中点P（）在直线y=mx+12上，
∴，代入上式得
，又km=-1，∴x1+x2=6k（13分）
将代入并注意到k≠0，得k=．
∴当m≠0时，存在实数，使A、B两点关于直线y=mx+12对称（14分）