Question

双曲线x²-y²=2008的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上一点，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定

Answer

设a2=2008，根据题意可表示A1，A2坐标，设出P坐标，则可分别表示出PA1和PA2的斜率，二者乘求得 ，根据双曲线方程可知 =1，进而可推断出-tan∠PA1A2tan∠PA2A1=1．从而tan∠PA1A2tan（5∠PA1A2）=1
最后得出5∠PA1A2=-∠PA1A2即可求得∠PA1A2．
【解析】
设a2=2008，
A1（-a，0），A2（a，0），P（x，y），
kPA1=tan∠PA1A2=，①
kPA2=-tan∠PA2A1=，②
由x2-y2=a2得 =1，
①×②，得-tan∠PA1A2tan∠PA2A1=1，
∴tan∠PA1A2tan（5∠PA1A2）=1
即tan（5∠PA1A2）=tan（ -∠PA1A2）
∴5∠PA1A2=-∠PA1A2
∴∠PA1A2=
故选A．