Question

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数满足y_极大值=1，y_极小值=-3，
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的图象上斜率最小的切线方程．
（Ⅲ）求a取值范围．

Answer

（I）先求出导函数，欲使函数f（x）在区间（0，2）上单调递增可转化成f′（x）≥0在区间（0，2）上恒成立，再借助二次函数的性质求出参数a的范围．
（Ⅱ）（1）由（I）得：，根据题中最值条件即可求出a值，从而求出函数y=f（x）的解析式；
（2）利用导数的几何意义切线的斜率为k=f′（x）=-3x2-3取得最大值-3，从而得出函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程；
（Ⅲ）据题意 0≤-3x2+3ax≤1在（0，1]上恒成立结合基本不等式即可求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立  …（2分）
∵f'（x）是开口向下的抛物线∴…（5分）
（Ⅱ）（1）令
∵a＜0，∴y极大值=f（0）=b=1
∴，
∴a=-3
∴f（x）=-x3-3x+1…（9分）
（2）∵当x=0，k=f′（x）=-3x2-3取得最大值-3，
∴函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程为：y-1=-3（x-0），
即y=-3x+1．
（Ⅲ）∵，∴tanθ=-3x2+2ax∈[0，1]
据题意 0≤-3x2+3ax≤1在（0，1]上恒成立   …（10分）
由 
由
又，∴…（14分）
综上，a的取值范围是…（15分）