Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点
（1）求BC边所在直线方程； 
（2）圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程；
（3）若DE是圆M的任一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）用斜率公式求出 AB的斜率 KAB，根据垂直关系可得BC的斜率  KBC，用点斜式求得BC边所在直线方程．
（2）在BC边所在直线方程中，令y=0，可得点 C的坐标，设△ABC的外接圆方程为  x2+y2+Dx+Ey+F=0，把 A、B、C三点的坐标分别代入，求出 D、E、F的值，即得△ABC的外接圆方程．
（3）由题意可得P（-1，0 ），△ABC的外接圆标准方程为 （x-1）2+y2=9，设 与 的夹角为θ，则   与  的夹角为π-θ，根据 =（ + ）•（ +），求得结果．
【解析】
（1）AB的斜率 KAB==-，∴KBC==，
故求BC边所在直线方程为  y+2=（x-0），即 ．
（2）在BC边所在直线方程中，令y=0，可得 x=4，故 C（4，0）．
设△ABC的外接圆方程为  x2+y2+Dx+Ey+F=0，把 A、B、C三点的坐标分别代入可得
，解得  ，∴△ABC的外接圆方程为 x2+y2-2x-8=0．
（3）由题意可得P（-1，0 ），△ABC的外接圆标准方程为 （x-1）2+y2=9，
表示以S（1，0）为圆心，以3为半径的圆．
由于DE是圆M的任一条直径，设 与 的夹角为θ，则   与  的夹角为π-θ，
∴=（ + ）•（ +）=+++ 
=4+||•||cosθ+cos（π-θ）+（-SD2）=4+2×3cosθ-2×3cosθ-9=-5，
故 是定值，为-5．