Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，O为AC中点．（Ⅰ）在BC₁上确定一点E，使得OE∥平面A₁AB，并说明理由；（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的大小．

Answer

（I）由已知中AA1=A1C=AC=2，O为AC中点，则A1O⊥AC．又由侧面AA1C1C⊥底面ABC，由面面垂直性质可得A1O⊥平面ABC．以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，设出E点的坐标，然后根据线面平行向量法公式及向量共线构造方程组，解方程即可判断出满足条件的E的位置．
（II）分别求出平面A1BC1的法向量与平面A1AB的法向量，然后代入二面角向量法夹角公式，即可得到二面角A-A1B-C1的大小．
【解析】
（Ⅰ）E为BC1中点．（2分）
因为A1A=A1C，且O为d的中点，所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC．以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（1分）
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
则有：．（2分）
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，令y=1，得
所以．（4分）
设，即，得
所以，得，由已知OE∥平面A1AB，
得，即-1+λ+2λ-λ=0，得．即存在这样的点E，E为BC1的中点．（6分）
（Ⅱ）由（I）得，已知，设面A1BC1的法向量为
m=（a，b，c），则，令，所以．（8分）
所以cos＜m，n＞===．（10分）
由图可得二面角A-A1B-C1的大小为．（12分）