Question

已知f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R）．
（Ⅰ）已知对于给定区间（a，b），存在x∈（a，b）使得成立，求证：x唯一；
（Ⅱ）x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，当m=1时，比较f（）和大小，并说明理由；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R，m≥1）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer

（Ⅰ）假设存在x'，x∈（a，b），且x'≠x，使得f'（x）=f'（x'），由此导出上的单调增函数，从而得到x是唯一的．
（Ⅱ），设，则．由f'（x）单调增．知x＞x2时，F（x）单调减．x＜x2时，F（x）单调增，所以．
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，因为m≥1，由，知f（x）是x∈R上的单调减函数由此入手能推导出△ABC为钝角三角形．
【解析】
（Ⅰ）证明：假设存在x'，x∈（a，b），且x'≠x，使得，，
即f'（x）=f'（x'）．（1分）
∵，∴上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明f'（x）的单调性）．（3分）
∴x=x'，这与x'≠x矛盾，即x是唯一的．（4分）
（Ⅱ），原因如下：
设，则．
由（Ⅰ）知f'（x）单调增．
所以当x＞x2即时，有
所以x＞x2时，F（x）单调减．（5分）
当x＜x2即时，有
所以x＜x2时，F（x）单调增．（6分）
所以F（x）＜F（x2）=0，所以．（8分）
（Ⅲ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，因为m≥1
∵，∴f（x）是x∈R上的单调减函数．（9分）
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．∵，
∴．（10分）
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，
∴，∴cosB＜0，∠B为钝角．故△ABC为钝角三角形．（12分）