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已知函数f(x)=x- (Ⅰ) 求f(x)的最小值. (Ⅱ)若f(x)在区间[m...

已知函数f(x)=x-manfen5.com 满分网
(Ⅰ)  求f(x)的最小值.
(Ⅱ)若f(x)在区间[m,n](0≤m<n)上的值域为[km,kn],试求k的取值范围.
(Ⅰ) 先求导函数,再令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x)∴N′(x)>0,故N(x)在(-1,+∞)上单调递增,结合f(x)在(-1,0)上单调减,(0,+∞)上单调递增可求f(x)的最小值. (Ⅱ)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在区间[m,n](m<n),再利用二次函数的单调性,求出m,n的值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. 【解析】 (Ⅰ) ,令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x)∴N′(x)>0,故N(x)在(-1,+∞)上单调递增,N(0)=0,又函数f(x)在(-1,0)上单调减,(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=0 (Ⅱ)由题意f(x)在[0,+∞)上单调递增,故,即方程f(x)=kx在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,又0是方程f(x)=kx的根,故此方程还有一个正根. 令,∴, 令N1(x)=(1-k)(1+x)2-1+ln(1+x), 当0<k<1时,N1′(x)>0,故N1(x)单调递增,由于当x→+∞时,F(x)→+∞,F(0)=0,要使F(x)=0有一个正根,只要F(x)有一个正德极值,即N1(x)=0有一个正根,故N1(x)<0,即-k<0,∴0<k<1; 当k≥1时,令F(0)=0则,由于x>0,∴(1-k)x≤0,而故上式不成立 综上所述,0<k<1
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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