Question

设椭圆，双曲线（其中a＞b＞0）的离心率分别为e₁，e₂有下列结论：①e₁e₂＜1；②e₁²+e₂²=2；③e₁e₂＞1；④e₁e₂=1；⑤e₁+e₂＜2
其中正确的是    ．

Answer

利用椭圆和双曲线的性质分别表示出e1和e2，进而得到e12+e22=2，再根据e1，e2均大于0，故求m=e1+e2的范围可先求m平方的范围即求e12+e22+2e1e2的范围，而e12+e22=2，再根据a＞b＞0推断出 ，进而求得e1e2的表达式，求得e1e2的范围，代入m2=e21+e22+2e1e2中，求得m2的范围．即可得到答案．
【解析】
由题意得：
e1=＞0，e2=＞0
∴e12+e22=2，②正确；
∵m=e1+e2
∴m2=e21+e22+2e1e2
即m2=2+2e1e2=
∵a＞b＞0
∴
∴0＜e1e2＜1，故①正确，③④错误；
即2＜m2＜4
即 ，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．