Question

某商场预计，2010年1月份起前x个月顾客对某种商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2010年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

Answer

（1）根据所给的前x个月顾客对某种商品的需求总量p（x），可以写出第x个月的对货物的需求量，注意验证第一个月的需求量符合表示式．
（2）根据所给的表示式，写出每一个月的利润的表示式，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到利润的最大值．
【解析】
（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f（x）=P（x）-P（x-1）=x（x+1）（39-2x）-（x-1）x（41-2x）=-3x2+40x．
验证x=1符合f（x））=-3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12）
（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为：
g（x）=6x3-185x2+1400x（x∈N，1≤x≤6）
g（x）=-480x+6400 （x∈N.7≤x≤12
当1≤x≤6，x∈N时g′（x）=18x2-370x+1400，
令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．
当1≤x≤5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（元）．
当7≤x≤12，x∈N时，g（x）=-480x+6400是减函数，
当x=7时，g（x）的最小值等于g（7）=3040（元），
综上，商场2009年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元．